Assignment 7

Kriptografi (cryptography) berasal dari bahasa Yunani, terdiri dari dua suku kata yaitu kripto dan graphia. Kripto artinya menyembunyikan, sedangkan graphia artinya tulisan. Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari teknik-teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi, seperti kerahasiaan data, keabsahan data, integritas data, serta autentikasi data .Tetapi tidak semua aspek keamanan informasi dapat diselesaikan dengan kriptografi.
Kriptografi dapat pula diartikan sebagai ilmu atau seni untuk menjaga keamanan pesan.

Pada prinsipnya, Kriptografi memiliki 4 komponen utama yaitu:

  1. Plaintext, yaitu pesan yang dapat dibaca

  2. Ciphertext, yaitu pesan acak yang tidka dapat dibaca

  3. Key, yaitu kunci untuk melakukan teknik kriptografi

  4. Algorithm, yaitu metode untuk melakukan enkrispi dan dekripsi

Kemudian, proses yang akan dibahas dalam artikel ini meliputi 2 proses dasar pada Kriptografi yaitu:

  1. Enkripsi (Encryption)

  2. Dekripsi (Decryption)

dengan key yang digunakan sama untuk kedua proses diatas. Penggunakan key yang sama untuk kedua proses enkripsi dan dekripsi ini disebut juga dengan Secret KeyShared Key atau Symetric Key Cryptosystems.

Berikut adalah ilustrasi 4 komponen dan 2 proses yang digunakan dalam teknik kriptografi.

Enkripsi

Enkripsi (Encryption) adalah sebuah proses menjadikan pesan yang dapat dibaca (plaintext) menjadi pesan acak yang tidak dapat dibaca (ciphertext). Berikut adalah contoh enkripsi yang digunakan oleh Julius Caesar, yaitu dengan mengganti masing-masing huruf dengan 3 huruf selanjutnya (disebut juga Additive/Substitution Cipher):

Plaintext Ciphertext
rumah xasgn
motor suzux
kompor qusvux
dst…

Dekripsi

Dekripsi merupakan proses kebalikan dari enkripsi dimana proses ini akan mengubah ciphertext menjadi plaintext dengan menggunakan algortima ‘pembalik’ dan key yang sama. Contoh:

Ciphertext Plaintext
xasgn rumah
suzux motor
qusvux kompor
dst…

Contoh Cryptography

Data Asal = “ RUMAH “

Key = 7

Data Acak ?

Assignment 6

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

f(n) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + \cdots + n (n +  1) = \frac{1}{3} n (n + 1)(n + 2).

Jawaban:

Langkah 1:

f(1) = 1 x 2 = 2

f(1) = \frac{1}{3} 1 (1 + 1)(1 + 2) = \frac{1}{3} \times 1 \times 2 \times 3 = 2

Maka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = 1.

Langkah 2:

Misalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = k, yaitu:

f(k) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + \cdots + k (k + 1) = \frac{1}{3} k (k + 1)(k + 2). (persamaan 1)

Maka akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu:

f(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + \cdots + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{1}{3} (k + 1)(k + 2)(k + 3) (persamaan 2)

Dari persamaan 1 tadi, kita tambahkan (k + 1)(k + 2) pada kedua ruas, yaitu:

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + \cdots + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{1}{3} k (k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)

\Leftrightarrow \{(k + 1)(k + 2)\}(\frac{1}{3} k + 1) \Leftrightarrow \{(k + 1)(k + 2)\}(\frac{k+3}{3}) \Leftrightarrow \frac{1}{3} (k + 1)(k + 2)(k + 3)

Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan 2 di atas.

Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar untuk setiap bilangan asli n, dengan menggunakan induksi matematika.a

Asignment 9

Soal-soal dan Jawaban Rangkaian Logika

 

1.a). Hitunglah :

(i). (8AD)16 = (…….)10 = (…….)2 = (…….)8

(ii).(3AE)16 = (…….)8   = (…….)10= (…….)2

b). Jumlahkan dalam bentuk BCD :

(i). 25 + 32 = …….                 (ii). 123 + 382 = …….

c). Bagilah :

(i). 110111 : 10011 = …….    (ii). 10011 : 100 = …….

d). Kurangkanlah  dalam bentuk komplemen –1 dan –2 :

(i). 00,111 – 0,1001                (ii). 01011 – 101

e). Pada soal  (a). hitunglah (ii)-(I) menggunakan komplemen –1 dan –2.

 

      Jawab : 

a). (I). (8AD)16 = (1000  1010  1101)2

= (4 2 5 5)8

= (1 x 210) + (1 x 27) + (1 x 25) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 20)

= (1 + 4 + 8 + 32 + 128 + 1024)

= (1197)10

(ii). (3AE)16  = (0011  1010  1110)2

= (1 6 5 6)8

= (1 x 29) + (1 x 28) + (1 x 27) + (1 x 25) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21)

= (512 + 256 + 128 + 32 + 8 + 4 + 1)10

= (768 + 160 + 13)10

                                 = (941)10

b). (I). 25 + 32 = 57                          (ii). 123 + 382 = 505

0010  0101                                   0001  0010  0011

0011  0010      +                              0011  1000  0010          +

              0101  0111                                   0100  1010  0101

5        7                                           1  +0101   5

0101   1111

5             1   +

0000

0

 

 

 

 

c). (I).                 11,100…                                            100,11…

10011√ 110111                                   100√ 10011

10011                                                10000

10001                                                    11

10011                                                    100

10                                                      10

0

10

 

 

d). (I). Komplemen-1 :                                         Komplemen-2 :

00,111                    0,111                          0,111                0,111

0,1001      _          0,0110      +                  0,1001      _       0,0111     +

1,0100                                                 1,0101

  • + diabaikan

0,0101                                 hasilnya   0,0101

 

(ii). Komplemen-1 :                                        Komplemen-2 :

 

01011                   01011                           01011

101       _          11010       +                    11011       +

100101                         100110

  • +               diabaikan
  • hasilnya : 110

 

 

e).

001110101110                    Kompl-1

100010101101   _               001110101110

01110 101 0010    +

101100000000  (btk kompl-1)

– 010011111111  (min)

 

Kompl-2

001110101110                        001110101110

100010101101    _                  011101010011     +  (kompl-2)

101100000001   (dlm btk kompl-2)

 

 

Kompl-2 = Kompl-1

  • +

 

101100000001 = Kompl-1               101100000000

  • +     

 010011111111

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Suatu persamaan Aljabar Boole, yang mempunyai 4 karakter masukan masing-masing w,x,y dan z, yang dicirikan oleh fungsi :

P = Sm (1,3,5,7,9) + Sd (4,11,12,13,14,15)

   Carilah format rangkaian logika yang sesederhana mungkin, sehingga diperoleh rangkaian elektronika yang semurah mungkin dalam implementasinya.

 

Jawab :

    P = Sm (1,2,5,7,9) + Sd (4,11,12,13,14,15)

 

 

W X Y Z P
0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1
2 0 1 0 0 0
3 1 1 0 0 1
4 0 0 1 0 X
5 1 0 1 0 1
6 0 1 1 0 0
7 1 1 1 0 1
8 0 0 0 1 0
9 1 0 0 1 1
10 0 1 0 1 0
11 1 1 0 1 X
12 0 0 1 1 X
13 1 0 1 1 X
14 0 1 1 1 X
15 1 1 1 1 X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
0 0 1 1
0 0 X 1
X X X X
X 0 1 1

 

Pilihan-1      P = W

 

 

 

 

0 0 1 1
0 0 X 1
X X X X
X 0 1 1

 

Pilihan-2  P =

 

 

0 0 1 1
0 0 X 1
X X X X
X 0 1 1

 

Pilihan-3  P =

 

 

 

 

 
0 0 1 1
0 0 X 1
X X X X
X 0 1 1

 

Pilihan-4 P = W + (YZ)

 

 

Pilihan-4 ternyata lebih sederhana daripada pilihan-2 dan pilihan-3 dan mudah untuk di-implementasikan.

 

P = W + YZ

 

  1. Suatu sistem Elektronika Digital mempunyai karakter sebagai berikut :

 

Sistem

Elektronika

Digital

 

X                                                                                     A

Input                                                                                                    Output

Y                                                                                     B

Z

 

 

Digunakan sebagai bagian perangkat Automation. Output-A akan bernilai logika-1 jika keadaan masukan adalah   x y z  +  x y z  +  x y z  +  x y z  +  x y z , sedangkan Output-B akan bernilai logika-1, jika keadaan inputnya masing-masing adalah :  x y z  +  x y z  +  x y z  +  x y z.

  1. Tentukan masing-masing keadaan output yang paling menguntungkan, dengan cara:

­                 i. Sum of pruduct (SOP) dan Product of Sum (POS)

  1. Karnaugh Map.
  2. Implementasikan Sistem Elektronika Digital yang anda desain

.

Jawab :

 

Sistem

Elektronika

Digital

 

 

X                                                                                     A

Input                                                                                                    Output

Y                                                                                     B

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Karnaugh Map

     Output-A

 

 
1 1 0 1
1 1 0 0

 

A =

 

Output-B

1 1 0 1
1 1 0 0

 

B =  +

b).

 

Sistem

Elektronika

Digital

 

 

X                                                                                     A = X + (YZ)

Input                                                                                                    Output

Y                                                                                     B = YZ + YZ

Z

 

 

 

 

 

 

b). Implementasi Rangkaian Logika

 

 

 

 

Tabel Kebenaran

 

Z Y X A B
0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Desain suatu counter sinkron yang mencacah dari 0000 – 1011.

 

 

D C B A
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 0 0 0 0

 

 

 

 

 

 

TRUTH TABLE J – K FLIP-FLOP

 

 

Qn Qn+1 J K
0 0 0 X
0 1 1 X
1 0 X 1
1 1 X 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
0 2 3 1
8 10 11 9
X X X X
4 6 7 5

 

 

 

                     a). Fungsi input J dan K untuk flip-flop D

 

 
0 0 0 0
X X X X
X X X X
0 0 1 0

 

JD  =  ABC

 

 

X X X X
0 0 1 0
X X X X
X X X X

 

KD  =  AB

 

 

 

 

                  b). Fungsi input J dan K untuk flip-flop C

 

 

 

 
0 0 1 0
0 0 0 0
X X X X
X X X X

 

JC  =

 

X X X X
X X X X
X X X X
0 0 1 0

 

KC  =  AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   c). Fungsi input J dan K untuk flip-flop B

 

 

 

0 X X 1
0 X X 1
X X X X
0 X X 1

 

JB  =  A

 

 

X 0 1 X
X 0 1 X
X X X X
X 0 1 X

 

KB  =  A

 

                  d). Fungsi input J dan K untuk Flip-flop A

 

 

1 1 X X
1 1 X X
X X X X
1 1 X X

JA  =

 

 

 

X X 1 1
X X 1 1
X X X X
X X 1 1

 

KA  =  A

 

 

 

Sehingga Implementasi rangkaian lengkapnya adalah :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Desain suatu pencaah sinkron yang akan mencacah dari 0011(desimal 3) hingga 1011(desimal 11). Dan setelah itu kembali lagi ke 0011.

 

 

D C B A
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 0 0 0 0

 

 

 

 
0 2 3 1
8 10 11 9
X X X X
4 6 7 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qn Qn+1 J K
0 0 0 X
0 1 1 X
1 0 X 1
1 1 X 0

 

 

 

                   Flip-flop A :

 

 
X X X X
1 1 X X
X X X X
1 1 X X

 

JA  =  1

 

 
X X X X
X X 1 1
X X X X
X X 1 1

 

KA  =  1

 

 

 

 

 

 

                   Flip-flop B :

 

 

 

 
X X X X
0 X X X
X X X X
0 X X 1

 

JB  =  A

 

 

 
X X 1 X
X 0 1 1
X X X X
X 0 1 X

 

KB  =  A

 

                   Flip-flop C :

 

 
X X 1 X
0 0 0 0
X X X X
1 1 X X

 

JC  =

 

 

 
X X X X
X X X X
X X X X
0 0 1 0

 

KC  =  AB

 

 

                   Flip-flop D:

 

 
X X 0 X
X X X X
X X X X
0 0 1 0

 

JD  =  ABC

 

 

 
X X X X
0 0 1 0
X X X X
X X X X

 

KD  =  AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Assignment 5

LESSON 5

MATRIKS

SOAL & PEMBAHASAN

1. Carilah matriks tranpose dari matriks berikut ini

Pembahasan :
Matriks tranpose A dari matriks A adalah

2. Carilah matriks tranpose dari matriks berikut ini

 

Pembahasan :
Matriks tranpose A dari matriks A adalah

3. Hitunglah operasi matriks berikut ini
a.

b.

c.

d.

Pembahasan :
a.

b.

c.

d.

4. Buktikan bahwa A.I=I.A dimana I adalah matriks identitas


Pembahasan :

5. Berapakah hasil kali matriks A.B dan B.A jika diketahui matriksnya adalah
a.

b.

Pembahasan :
a.

b.

6.Tentukan determinan dan invers dari matriks dibawah ini
a.
b.
Pembahasan :
a.cara mendapatkan determinan matriks A adalah

cara mendapatkan invers dari matriks A adalah

b.cara mendapatkan determinan matriks A adalah

cara mendapatkan invers dari matriks A adalah

LESSON 6
INDUKSI MATEMATIS
SOAL & PEMBAHASAN

Soal 1: Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

  1. P(k): Sk = [k²(k + 1)²]/4
  2. P(k): Sk = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
  3. P(k): k + 3 < 5k²
  4. P(k): 3k ≥ 2k + 1

Pembahasan

  1. Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
    Soal 1-1
  2. Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
    Soal 1-2
  3. Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh
    Soal 1-3
  4. Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k+ 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
    Soal 1-4

Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa Sk + 1 = Sk + ak + 1, di mana ak + 1 adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

Soal 2

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

  1. Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena
    Soal 2-1
  2. Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnyak + 1. Anggap bahwa rumus
    Soal 2-2 Hipotesis
    bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.
    Soal 2-2

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Assignment 4

Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):
a) p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir

b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi

c) p : Mahesa  anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.

Pembahasan
a) p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir

p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir

b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi

p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi

c) p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.

p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas

Kata “dan”  bisa diganti dengan “tetapi”, “walaupun”, “meskipun” selaraskan dengan pernyataan.

Assignment 3

1.  Dalam kelas Kombinatorika setiap mahasiswa menempuh mata kuliah Kalkulus atau Analisis Real, atau keduanya. Jika 25 mahasiswa menempuh mata kuliah Kalkulus, 13 mahasiswa menempuh mata kuliah Analisis Real, dan 8 mahasiswa menempuh kedua – duanya, berapa banyak mahasiswa dalam kelas Kombinatorika tersebut?

Jawab: Misalkan A adalah himpunan mahasiswa dalam kelas Kombinatorika yang menempuh mata kuliah Kalkulus dan B adalah himpunan mahasiswa dalam kelas Kombinatorika yang menempuh mata kuliah
Analisis Real. Maka AB adalah himpunan mahasiswa dalam kelas Kombinatorika yang menempuh mata kuliah Kalkulus dan Analisis Real. Karena banyaknya mahasiswa dalam kelas Kombinatorika terdiri dari mahasiswa yang menempuh Kalkulus atau Analisis Real atau keduanya, maka banyaknya mahasiswa dalam kelas Kombinatorika adalah |AB|. Sehingga,

|AB|=|A|+|B||AB|=25+138=30

Jadi, ada 30 mahasiswa dalam kelas Kombinatorika.

2.  Berapa banyak bilangan bulat positif tidak melebihi 1000 yang dapat dibagi oleh 7 atau 11?

Jawab: Misalkan A adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melebihi 1000 yang dapat dibagi oleh 7, dan adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melebihi 1000 yang dapat dibagi oleh 11. Maka AB adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melebihi 1000 yang dapat dibagi oleh 7 atau 11, dan AB adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melebihi 1000 yang dapat dibagi 7 dan 11. Diantara bilangan bulat positif yang tidak melebihi 1000 ada 1000/7 bilangan bulat
positif yang dapat dibagi 7 dan 1000/11 bilangan bulat positif yang dapat dibagi 11. Karena 7 dan 11 relatif prima, bilangan bulat positif yang dapat dibagi 7 dan 11 juga dapat dibagi 7.11. Akibatnya, ada 1000/7.11 bilangan bulat positif tidak melebihi 1000 yang dapat dibagi 7 dan 11. Sehingga, ada

|AB|=|A|+|B||AB|=1000/7+1000/111000/7.11=142+9012=220

bilangan bulat positif tidak melebihi 1000 yang dapat dibagi 7 atau 11.

Assignment 2

Pertanyaan:

1.  Diketahui himpunan :

Semesta = bilangan asli kurang dari 10

A = bilangan prima kurang dari 8

B = bilangan ganjil kurang dari 10

Gambarkan diagram Venn dari himpunan tersebut!

2. Dari sekelompok anak, diketahui 22 anak menyukai Matematika, 27 anak menyukai bahasa inggris, 7 siswa

menyukai keduanya, dan 8 anak tidak menyukai keduanya. Gambarkan diagram vennya dan tentukan jumlah anak

dalam kelompok itu !

Status: Done

Pernyataan: Saya sudah mengerjakan assignment pertemuan 2

Pembuktian: http://idu.ilearning.co/files/4223060/IMG_0176_lmsauth_e12169e24140f1fd2ff6d94457da89b91ab8af0b.JPG